나눗셈 정리(나머지 정리)
정리
다항식 \(f(x)\)를 일차식 \(x - \alpha\)로 나누었을 때의 나머지 \(R\)은
\[\begin{matrix} R &=& f({\alpha}) \end{matrix}\]설명
다항식 \(f(x)\)를 일차식 \(x - \alpha\)로 나누었을 때, 몫을 \(Q\), 나머지를 \(R\)이라고 한다면, 아래처럼 식을 만들 수 있다.
\[\begin{matrix} f(x) = Q(x-\alpha) + R \end{matrix}\]이 때, \(x\)에 \(\alpha\)를 대입하면, \(f(\alpha) = Q(\alpha-\alpha) + R\)이므로, \(R = f({\alpha})\)가 된다.
응용
다항식 \(f(x)\)를 일차식 \(ax - b\)로 나누었을 때의 나머지 \(R\)은
\[\begin{matrix} R &=& f(-{b \over a}) \end{matrix}\]이 경우도 \(f(x) = Q(ax+b) + R\)이므로, \(x\)에 \(-\)\(b \over a\)를 대입하면 \(Q(ax+b)\)는 \(0\)이 된다.