근과 계수와의 관계(비에트 정리, 2차 방정식)
정리
\(ax^2 + bx + c = 0 (a \ne 0, a, b, c는\ 실수)\)의 두 실근을 \(\alpha\), \(\beta\) 라 하면,
\[(1)\ \alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \quad (2)\ \alpha\beta = \frac{c}{a}\]설명
\(ax^2 + bx + c = 0\)는 \(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)으로 바꾸어 쓸 수 있다.
앞서 설명처럼 \(\alpha\)와 \(\beta\)가 2차 방정식의 두 실근이라면,
\((x - \alpha)(x - \beta) = 0\)이 성립한다. \(x\)가 \(\alpha\) 또는 \(\beta\)라면, 좌변이 \(0\)이 된다.
분배법칙을 이용해 \((x - \alpha)(x - \beta) = 0\)을 2차 방정식 형태로 바꿔보면 아래처럼 된다.
\[x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0\]위 식과 \(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)를 나란히 두고 비교해보면, \(\alpha + \beta = -\frac{b}{a},\ \alpha\beta = \frac{c}{a}\)임을 확인할 수 있다.